Question

15．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE=2DE，延長DE到F，使得EF=BE，連接CF．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形．
（2）若DE=4cm，∠EBC=60°，求菱形BCFE的面積．

Answer 1

分析 （1）先判斷DE為△ABC的中位線得到DE∥BC且2DE=BC，加上BE=2DE，EF=BE，則EF=BC，EF∥BC，所以可判斷四邊形BCFE是平行四邊形，然后再判斷四邊形BCFE是菱形；
（2）先計算出BC=2DE=8，再判斷△BCE為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的面積公式得到S_△BCE=16$\sqrt{3}$，所以菱形BCFE的面積=2S_△BCE=32$\sqrt{3}$（cm²）．

解答 （1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
又∵BE=FE，
∴四邊形BCFE是菱形；
（2）解：∵DE=4，
∴BC=2DE=8，
∵∠EBC=60°，
而BE=BC，
∴△BCE為等邊三角形，
∴S_△BCE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×8²=16$\sqrt{3}$，
∴菱形BCFE的面積=2S_△BCE=32$\sqrt{3}$（cm²）．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)：菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．