Question

7．如圖，在平行四邊形ABCD中，直線EF繞對角線AC的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，分別交BC、AD于E、F兩點(diǎn)，連接AE、CF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若AC=2，∠CAF=30°．
①當(dāng)AF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，四邊形AECF是菱形；
②當(dāng)AF=$\sqrt{3}$時，四邊形AECF是矩形．
（直接寫出答案，不需要說明理由）

Answer 1

分析 （1）先由平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，從而得出∠CAF=∠ACE，再用中點(diǎn)得到OA=OC，得出△AOF≌△COE即可；
（2）①由菱形的性質(zhì)得出∠AOF=90°，再用三角函數(shù)求出AF即可；
②由矩形的性質(zhì)得出∠AFC=90°，再用三角函數(shù)求出AF即可．

解答 解：（1）在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CAF=∠ACE，
∵點(diǎn)O是平行四邊形ABCD對角線的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
在△AOF和△COE中$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠ACE}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）①∵四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴∠AOF=90°，
在RT△AOF中，∠CAF=30°．OA=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴cos∠CAF=$\frac{OA}{AF}$，
∴AF=$\frac{OA}{cos∠CAF}$=$\frac{1}{cos30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②∵四邊形AECF是矩形，
∴∠AFC=90°，
在Rt△ACF中，∠CAF=30°，AC=2，
∴cos∠CAF=$\frac{AF}{AC}$，
∴AF=AC×cos∠CAF=2×cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形、矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵判斷出△AOF≌△COE，三角函數(shù)的運(yùn)用是解本題的難點(diǎn)．