Question

19．如圖1，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=6，∠OCA=30°，點P是射線CA上的動點，點Q是x軸上的動點，CP=3OQ，分別以AQ和AP為邊作平行四邊形APEQ，設(shè)Q點的坐標(biāo)是Q（t，0）．
（1）求矩形OABC的對角線AC的長；
（2）如圖2，當(dāng)點Q在線段OA上，且點E恰好在y軸上時，求t的值；
（3）在點P，Q的運動過程中，是否存在點Q，使?APEQ是菱形？若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半直接求出AC，
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，表示出EQ，再利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半，建立方程求解即可；
（3）分點Q在點A的左邊和右邊兩種情況，利用菱形的鄰邊相等AQ=AP建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°，
∵OA=6，∠OCA=30°，
∴AC=12，
（2）∵OQ=t，
∴CP=3OQ=3t，
∴AP=12-3t，
∵以AQ和AP為邊作平行四邊形APEQ，
∴EQ=AP=12-3t，
∵以AQ和AP為邊作平行四邊形APEQ，
∴EQ=2OQ，
∴12-3t=2t，
∴t=$\frac{12}{5}$；
（3）存在，
①當(dāng)點Q在點A左邊時，即：t≤6，OQ=|t|，
則CP=3|t|，
∴AP=12-3|t|，AQ=6-t，
∵?APEQ是菱形，
∴AP=AQ，
∴12-3|t|=6-t，
∴t=3或t=-$\frac{3}{2}$，
②當(dāng)點Q在A右邊時，即：t＞6，
∴OQ=t，
∴AQ=t-6，CP=3t，
∴AP=3t-12，
∵?APEQ是菱形，
∴AQ=AP，
∴t-6=3t-12，
∴t=3（舍），
即：t=3或-$\frac{3}{2}$時，?APEQ是菱形．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了，含30°的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用找出相等關(guān)系，還涉及到用方程的思想解決幾何問題．