Question

6．已知關(guān)于x的方程x²+2kx+k²-2k+1=0的兩個實(shí)數(shù)根x₁，x₂滿足x₁²=4-x₂²，反比例函數(shù)y=-$\frac{2k}{x}$的圖象與直線l關(guān)于A（-4，m），B（-1，n）兩點(diǎn)（如圖），AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求k的值以及直線l的解析式；
（2）P是線段AB上的一點(diǎn)（不與A、B重合），連接PC，PD，△PCA的面積記為S₁，△PDB的面積記為S₂．
①求證S₁+S₂為定值；
②求S₁•S₂的最大值，且求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程，可得k值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線的解析式；
（2）根據(jù)圖形割補(bǔ)法，可得S₁，S₂．
①根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案；
②根據(jù)整式的乘法，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，可得答案．

解答 解：（1）由關(guān)于x的方程x²+2kx+k²-2k+1=0的兩個實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
得x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²-2k+1．
由x₁、x₂滿足x₁²=4-x₂²，得k²+2k-3=0．
解得k=3，k=-1（不符合題意舍去），
反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{-6}{x}$，
當(dāng)x=-4時，y=$\frac{3}{2}$，即A（-4，$\frac{3}{2}$）
當(dāng)x=-1時，y=6，即B（-1，6），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-4b+k=\frac{3}{2}}\\{-k+b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$；
（2）如圖：

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，$\frac{3}{2}$a+$\frac{15}{2}$），
直線AB的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$，
當(dāng)x=0時，y=$\frac{15}{2}$即E（0，$\frac{15}{2}$），
當(dāng)y=0時，x=-5，即F（-5，0）．
①證明：∵S₁=S_△PFC-S_△AFC=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$）-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$x+3，
S₂=S_△PDE-S_△BDE=$\frac{1}{2}$×（$\frac{15}{2}$-6）×（-1-x）=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
∴S₁+S₂=$\frac{3}{4}$x+3+（-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{4}$，
∴S₁+S₂為定值；
②S₁•S₂=（$\frac{3}{4}$x+3）（-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$）
=-$\frac{9}{16}$x²-$\frac{45}{16}$x-$\frac{9}{4}$
當(dāng)x=-$\frac{5}{2}$時，S₁•S_2最大=$\frac{4×（-\frac{9}{4}）×（-\frac{9}{16}）-（-\frac{45}{16}）^{2}}{4×（-\frac{9}{16}）}$=$\frac{81}{64}$，
當(dāng)x=-$\frac{5}{2}$時，$\frac{3}{2}$×（-$\frac{5}{2}$）+$\frac{15}{2}$=$\frac{15}{4}$，
P（-$\frac{5}{2}$，$\frac{15}{4}$）

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，利用了根與系數(shù)的關(guān)系，自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用圖形割補(bǔ)法是求面積的關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)．