Question

18．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”
性質(zhì)：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．
理解：
如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．
應(yīng)用：
如圖②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．
（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．
探究：
在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，請直接寫出△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF即可求解．
探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
②求出高CQ，再求出△A′DC的面積，即可求出△ABC的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S_△AOE=S_△DOE，AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=6，
∵△AOB與△AOE是友好三角形，
∴S_△AOB=S_△AOE，OB=OE，
在△AOE與△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠AEO=∠OBF}\\{OB=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△FOB（SAS），
∴S_△AOE=S_△FOB，
∴S_△AOD=S_△ABF，
∴S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF=8×12-2×$\frac{1}{2}$×8×6=48；
探究：
解：分為兩種情況：①如圖1所示，
∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四邊形A′DCB是平行四邊形，
∴BC=A′D=2，
過B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積是$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
②如圖2所示，
∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四邊形A′BDC是平行四邊形，
∴A′C=BD=2，
過C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$A′C=1，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2×$\frac{1}{2}$×A′D×CQ=2×$\frac{1}{2}$×2×1=2；
即△ABC的面積是2或2$\sqrt{3}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積的計算、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強，需要進行分類討論才能得出結(jié)果．