Question

2．如圖，把矩形紙片ABCD置于直角坐標(biāo)系中，AB∥x軸，BC∥y軸，AB=4，BC=3，點(diǎn)B（5，1）翻折矩形紙片使點(diǎn)A落在對(duì)角線DB上的H處得折痕DG．
（1）求AG的長(zhǎng)；
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M（m，-1）使AM+CM最小，求出這個(gè)最小值；
（3）求線段GH所在直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AG=GH，設(shè)AG的長(zhǎng)度為x，在Rt△HGB中，利用勾股定理求出x的值；
（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接CA'與y=-1交于一點(diǎn)，這個(gè)就是所求的點(diǎn)，求出此時(shí)AM+CM的值；
（3）求出G、H的坐標(biāo)，然后設(shè)出解析式，代入求解即可得出解析式．

解答 解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
設(shè)AG的長(zhǎng)度為x，
∴BG=4-x，HB=5-3=2，
在Rt△BHG中，GH²+HB²=BG²，
x²+4=（4-x）²，
解得：x=1.5，
即AG的長(zhǎng)度為1.5；

（2）如圖所示：作點(diǎn)A關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接CA'與y=-1交于M點(diǎn)，
∵點(diǎn)B（5，1），
∴A（1，1），C（5，4），A'（1，-3），
AM+CM=A'C=$\sqrt{{4}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
即AM+CM的最小值為$\sqrt{65}$；

（3）∵點(diǎn)A（1，1），
∴G（2.5，1），
過(guò)點(diǎn)H作HE⊥AD于點(diǎn)E，HF⊥AB于點(diǎn)F，如圖所示，
∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB，
∴$\frac{DH}{DB}$=$\frac{EH}{AB}$，$\frac{HF}{DA}$=$\frac{BH}{BD}$，
即$\frac{3}{5}$=$\frac{EH}{4}$，$\frac{HF}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得：EH=$\frac{12}{5}$，HF=$\frac{6}{5}$，
則點(diǎn)H（$\frac{17}{5}$，$\frac{11}{5}$），
設(shè)GH所在直線的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{2.5k+b=1}\\{\frac{17}{5}k+b=\frac{11}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
則解析式為：y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的思想．