Question

14．在△ABC中，AB=BC，D為AB上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于F，且DE=BC，連接BE．

（1）如圖1，當(dāng)∠ABC=90°，完成以下問(wèn)題：
①若AB=8，AD=2時(shí)，求BE的長(zhǎng)．
②取AF的中點(diǎn)G，連接BG、FG，問(wèn)△BGE是否為等腰直角三角形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=120°，作AG∥BC，且AG=AD，連接BG、EG，試問(wèn)△BGE的形狀是否發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)指出此時(shí)三角形的形狀，并證明；若不改變請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①由已知條件得出DE=BC=AB=8，BD=AB-AD=6，∠BDE=90°，由勾股定理求出BE即可；
②連接DG，由△ABC是等腰直角三角形得出△ADF是等腰直角三角形，得出∠AFD=∠A=45°，得出∠GFE=135°，由SAS證明△ABG≌△DEG，得出BG=EG，∠1=∠2，由AAS證明△BDG≌△EFG，得出對(duì)應(yīng)角相等∠BGD=∠EGF，得出∠BGE=∠DGF=90°，即可得出結(jié)論；
（2）連接GF、DG，先證明△ADG是等邊三角形，得出DG=AD，再證明四邊形ADFG是菱形，得出GF=DF=AD=DG，∠EFG=∠ADF=120°，由SAS證明△BDG≌△EFG，得出BG=EG，∠BGD=∠EGF，證出∠BGE=∠DGF=60°，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①∵AB=BC，DE=BC，
∴DE=BC=AB=8，
∵AD=2，
∴BD=AB-AD=6，
∵DE∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=90°，
∴∠BDE=90°，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
②△BGE是等腰直角三角形；理由如下：
連接DG，如圖1所示：
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴∠GFE=135°，
∵G是AF的中點(diǎn)，
∴DG=$\frac{1}{2}$AF=AG=FG，∠GDF=45°，∠DGF=90°，
∴∠A=∠GDF，
在△ABG和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}&{\;}\\{∠A=∠GDF}&{\;}\\{AG=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△DEG（SAS），
∴BG=EG，∠1=∠2，
∵∠BDG=90°+45°=135°，
∴∠BDG=∠GFE，
在△BDG和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{∠BDG=∠GFE}&{\;}\\{BG=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△EFG（AAS），
∴∠BGD=∠EGF，
∴∠BGE=∠DGF=90°，
即△BGE是等腰直角三角形；
（2）△BGE的形狀是發(fā)生改變，此時(shí)△BGE是等邊三角形；理由如下：
連接GF、DG，如圖2所示：
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∵AG∥BC，
∴∠BAG=180°-∠ABC=60°，∠ADF=∠ABC=120°，∠AFD=∠BCA=30°，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AD=FD，
∵AG=AD，
∴AG=FD，
∴△ADG是等邊三角形，四邊形ADFG是平行四邊形，DG=AD，
∴四邊形ADFG是菱形，
∴GF=DF=AD=DG，∠EFG=∠ADF=120°，
∴∠DGF=∠FDG=60°，BD=EF，
∴∠BDG=60°+60°=120°，
∴∠BDG=∠EFG，
在△BDG和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=EF}&{\;}\\{∠BGD=∠EFG}&{\;}\\{DG=FG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△EFG（SAS），
∴BG=EG，∠BGD=∠EGF，
∴∠BGE=∠DGF=60°，
∴△BGE是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要通過(guò)作輔助線(xiàn)多次證明三角形全等才能得出結(jié)論．