Question

12．已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

分析 （1）首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；
（2）由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠CBE=180×$\frac{1}{4}$=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．

解答 證明：（1）在△ADE與△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{DE=DE}\\{EA=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AD=CD，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）∵BE=BC
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
∴∠CBE=180×$\frac{2}{2+3+3}$=45°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是正方形．

點評 本題主要考查了正方形與菱形的判定及性質(zhì)定理，熟練掌握定理是解答此題的關(guān)鍵．