Question

12．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，且DE平分∠CDF．
（1）求證：AB=AC；
（2）找出圖中的相似三角形；
（3）若AC=3，AD=2，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠ABC=∠2；由于∠1=∠2=∠3=∠4，故∠ABC=∠4，由此得證；
（2）根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；
（3）證△ABD∽△AEB，通過(guò)相似三角形的對(duì)應(yīng)成比例線段，求出AE及DE的值．

解答 （1）證明：∵∠ABC=∠2，∠2=∠1=∠3，∠4=∠3，
∴∠ABC=∠4，
∴AB=AC；

（2）解：∵∠DAC=∠DBC，∠3=∠4，
∴△AOD∽△BOC，
∵∠BAC=∠BDC，∠ABD=∠ACD，
∴△AOB∽△BOC，
∵∠E=∠E，
∴△ADE∽△BDE，
∵∠2=∠ABE，
∴△CDE∽△ABE，△ABD∽△AEB，△ABD∽△CDE，△ADC∽△BDF，△ADC∽△ACE；

（3）解：∵∠3=∠4=∠ABC，∠DAB=∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∵AB=AC=3，AD=2，
∴AE=$\frac{A{B}^{2}}{AD}$=$\frac{9}{2}$，
∴DE=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$（cm）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了角平分線，相似三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．