Question

13．定義函數(shù)f（x），當(dāng)x≤3時(shí)，f（x）=x²-2x，當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）=x²-10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為m＞-3或-12＜m＜-4．

Answer 1

分析 分別畫出x≤3和x＞3的函數(shù)圖象，得出兩拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)（3，3），結(jié)合函數(shù)圖象知①直線f（x）=2x+m過(guò)點(diǎn)（3，3）時(shí)；②當(dāng)直線f（x）=2x+m與f（x）=x²-2x只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，分別求出m的值，結(jié)合函數(shù)圖象可得m的取值范圍．

解答 解：∵x≤3時(shí)，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），
當(dāng)f（x）=0時(shí)，由x²-2x=0得x=0或x=2，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（0，0）和（2，0），
∵x＞3時(shí)，f（x）=x²-10x+24=（x-5）²-1，
∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-1），
當(dāng)f（x）=0時(shí)，由x²-10x+24=0得x=4或x=6，
∴此時(shí)拋物線與x軸的交點(diǎn)為（4，0）和（6，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{f（x）={x}^{2}-2x}\\{f（x）={x}^{2}-10x+24}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{f（x）=3}\end{array}\right.$，即兩拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
如圖所示：

直線f（x）=2x+m可看作直線y=2x平移得到，
①當(dāng)直線f（x）=2x+m過(guò)點(diǎn)（3，3），即6+m=3，得m=-3時(shí)，
直線f（x）=2x+m與f（x）=x²-2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)直線f（x）=2x+m與f（x）=x²-2x有一個(gè)交點(diǎn)，即x²-2x=2x+m只有一個(gè)解時(shí)，方程f（x）=2x+m有且只有兩個(gè)解，
解得：m=-4，
當(dāng)直線f（x）=2x+m與f（x）=x²-10x+24只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即2x+m=x²-10x+24只有一個(gè)解，
解得：m=-12，
由圖象可知當(dāng)m＞-3或-12＜m＜-4時(shí)，方程f（x）=2x+m有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
故答案為：m＞-3或-12＜m＜-4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線和拋物線交點(diǎn)問(wèn)題求解是解題的關(guān)鍵．