Question

10．如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，過A，B，D三點(diǎn)作⊙O，AE是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線交BD的延長線于點(diǎn)C，連接DE．
（1）求證：AD=DC；
（2）若sin∠BCA=$\frac{4}{5}$，AC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得∠EAD+∠DAC=90°，再利用圓周角定理得到∠ADE=90°，∠E=∠ABC，所以∠ABC=∠DAC，接著根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠C，所以∠DAC=∠C，于是得到AD=DC；
（3）作DH⊥AC于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=3，再利用正弦的定義得到sinC=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{4}{5}$，設(shè)DH=4x，CD=5x，則CH=3x，所以3x=3，解得x=1，則CD=AD=5，然后在在Rt△AED中利用正弦的定義可計(jì)算出AE的長．

解答 （1）證明：∵AC為切線，
∴AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，即∠EAD+∠DAC=90°，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠E=∠DAC，
∵∠E=∠ABC，
∴∠ABC=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=DC；
（3）解：作DH⊥AC于H，如圖，則AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=3，
在Rt△CDH中，sinC=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
設(shè)DH=4x，CD=5x，
∴CH=3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴CD=5，
∴AD=5，
在Rt△AED中，sinE=sinC=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴AE=$\frac{25}{4}$，
即⊙O的直徑為$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形．