Question

15．如圖，拋物線y=-x²-2x+3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求頂點D的坐標．
（2）矩形FMNP的一邊MN在線段AB上，點 F，P在拋物線上（點F在點P的左邊），當矩形FMNP的周長最大時，求矩形FMNP的面積．
（3）點H是拋物線上一點，過點H作y軸的平行線，與直線AC交于點E，交x軸于點G．
①若點H在第二象限內(nèi)，當HE最長時，求點H的坐標．
②連結(jié)DH，當DH=GH時，請直接寫出滿足條件的點H的坐標．

Answer 1

分析 （1）將拋物線的一般形式化成頂點式，接口得出點D的坐標；
（2）設(shè)出點F的坐標，即可得出MN，進而得出矩形周長C=-2（x+2）²+10，進而求出MN，NP即可得出矩形的面積；
（3）①先建立HE=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，即可確定出結(jié)論；
②利用DH=GH建立方程求出點H的坐標．

解答 解：（1）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4
∴頂點D的坐標為（-1，4）．

（2）設(shè)F的坐標為（x，y），則MN=2（-1-x）．
∴矩形周長C=4（-1-x）+2y=4（-1-x）+2（-x²-2x+3）=-2x²-8x+2=-2（x+2）²+10
∴當x=-2時，矩形周長最大，此時MN=2（-1-x）=2，NP=3．
∴矩形面積S=6．                         

（3）①設(shè)H的坐標為（x，y），直線AC：y=x+3．
∴HE=HG-EG=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$
∴當x=-$\frac{3}{2}$時，HE最大，此時點H（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），

②設(shè)H的坐標為（x，y），則G的坐標為（x，0），D（-1，4）．
當DH=GH時，此時G在A的右側(cè)或G在B的左側(cè)，GH=y，
DH²=（x+1）²+（y-4）²，
∴y²=（x+1）²+（y-4）²=x²+2x+y²-8y+17，
即x²+2x-8y+17=0，
∵y=-x²-2x+3，
∴9x²+18x-7=0．
∴x=$\frac{1}{3}$或x=-$\frac{7}{3}$，
∴點H（-$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線頂點坐標的確定，矩形的周長和面積的計算方法，解本題的關(guān)鍵是利用方程的思想和函數(shù)的思想方法解決問題，是一道中等難度的題目．