Question

18．觀察探究，完成證明和填空．如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接E、F、G、H得到的四邊形EFGH叫做中點四邊形．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）請你探究并填空：
當(dāng)四邊形ABCD變成平行四邊形時，它的中點四邊形是平行四邊形；
當(dāng)四邊形ABCD變成矩形時，它的中點四邊形是菱形；
當(dāng)四邊形ABCD變成正方形時，它的中點四邊形是正方形；
（3）根據(jù)以上觀察探究，請你總結(jié)中點四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？

Answer 1

分析 （1）連接BD．利用三角形中位線定理推出所得四邊形對邊平行且相等，故為平行四邊形；
（2）連接AC、BD．根據(jù)三角形的中位線定理，可以得到所得四邊形的兩組對邊分別和原四邊形的對角線平行，且分別等于原四邊形的對角線的一半．
若順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，則所得的四邊形的四條邊都相等，故所得四邊形為菱形；
若順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點，則所得的四邊形的四個角都是直角，故所得四邊形為矩形；
若順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點，則綜合上述兩種情況，故所得的四邊形為正方形；
（3）由以上法則可知，中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的關(guān)系決定的．

解答 解：（1）證明：連接BD．
∵E、H分別是AB、AD的中點，
∴EH是△ABD的中位線．
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，EH∥BD．
同理得FG=$\frac{1}{2}$BD，F(xiàn)G∥BD．
∴EH=FG，EH∥FG．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）填空依次為平行四邊形，菱形，正方形；
（3）中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的大小關(guān)系和位置關(guān)系決定的．
故答案為平行四邊形、菱形、正方形．

點評 此題綜合運用了三角形的中位線定理和特殊四邊形的判定定理．
熟記結(jié)論：順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形；
順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；
順次連接對角線垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是矩形；
順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是正方形．