Question

9．將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB=4$\sqrt{3}$，點(diǎn)P在直線AC上．
（1）若BP平分∠ABC，求DP的長(zhǎng)；
（2）若PD=BC，求∠PDA的度數(shù)；
（3）點(diǎn)Q在直線BC上，若以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，問符
合要求的點(diǎn)Q的位置有幾個(gè)？請(qǐng)直接寫出BQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作DF⊥AC，在直角△BCP中，求得PC的長(zhǎng)，而PF=CF-PC，則PF的長(zhǎng)可以求得，然后在直角△DFP中利用勾股定理即可求解；
（2）作DF⊥AC，則P可以在F的左右兩邊，分兩種情況進(jìn)行討論，與（1）的解法相同；
（3）分類討論畫出圖形，不難判斷Q的位置有3個(gè)，分別計(jì)算即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=4$\sqrt{3}$，∠BAC=30°
∴BC=2$\sqrt{3}$，AC=6．
如圖（1），作DF⊥AC，
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=3，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=2，
∴PF=1，
∴DP=$\sqrt{D{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
（2）當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時(shí)，
根據(jù)（1）中結(jié)論，DF=3，∠ADF=45°
又∵PD=BC=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠PDF=$\frac{DF}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PDF=30°
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°
當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時(shí)，
同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
（3）有3個(gè)，BQ=3或BQ=3+4$\sqrt{3}$，
如圖4、圖5所示，DP⊥AC時(shí)，DP∥BQ，DP=BQ，則BQ=3，
如圖6所示，BD∥PQ，BD=PQ時(shí)，作DF⊥AC，
易證△DFE∽△BCE，△QCP∽△BCE，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{DF}{BC}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{PQ}{BE}=\frac{BD}{BE}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}=\frac{CQ}{BC}=\frac{CQ}{2\sqrt{3}}$，
∴CQ=3+2$\sqrt{3}$，
∴BQ=3+4$\sqrt{3}$，
故點(diǎn)Q有3個(gè)，BQ=3或BQ=3+4$\sqrt{3}$．
       

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度系數(shù)較大，關(guān)鍵是熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．