Question

5．已知函數(shù)y=kx²+（3k+2）x+2k+2．
（1）k分別取0，1，-1時(shí)，試求出各函數(shù)表達(dá)式，并說出這三個(gè)函數(shù)的一個(gè)共同點(diǎn)．
（2）對(duì)于任意負(fù)實(shí)數(shù)k，當(dāng)x＜m時(shí)，y隨x的增大而增大，試求出m的最大整數(shù)值．
（3）點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)，滿足若x₁+x₂=-3，試比較y₁和y₂的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）把k=0，1，-1分別代入y=kx²+（3k+2）x+2k+2，即可求出各函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而得出這三個(gè)函數(shù)的一個(gè)共同點(diǎn)；
（2）k＜0，函數(shù)y=kx²+（3k+2）x+2k+2開口向下，再求出對(duì)稱軸為：x=-$\frac{3k+2}{2k}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{k}$＞-$\frac{3}{2}$，根據(jù)x＜m時(shí)，y隨x的增大而增大，利用二次函數(shù)的增減性即可求出m的最大整數(shù)值是-2；
（3）先根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出y₁=kx₁²+（3k+2）x₁+2k+2，y₂=kx₂²+（3k+2）x₂+2k+2，將兩式相減，得出y₁-y₂=[kx₁²+（3k+2）x₁+2k+2]-[kx₂²+（3k+2）x₂+2k+2]=k（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（3k+2）（x₁-x₂），把x₁+x₂=-3代入并且化簡(jiǎn)整理得出y₁-y₂=2（x₁-x₂），然后分x₁＞x₂；x₁=x₂；x₁＜x₂三種情況討論即可．

解答 解：（1）k=0時(shí)，y=2x+2；
k=1時(shí)，y=x²+5x+4；
k=-1時(shí)，y=-x²-x；
共同點(diǎn)：三個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），（-2，-2）；

（2）對(duì)于任意負(fù)實(shí)數(shù)k，函數(shù)y=kx²+（3k+2）x+2k+2的圖象是開口向下的拋物線，
對(duì)稱軸為：x=-$\frac{3k+2}{2k}$=-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{k}$＞-$\frac{3}{2}$，
∵當(dāng)x＜m時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴m的最大整數(shù)值是-2；

（3）∵點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)，
∴y₁=kx₁²+（3k+2）x₁+2k+2，y₂=kx₂²+（3k+2）x₂+2k+2，
兩式相減，得y₁-y₂=[kx₁²+（3k+2）x₁+2k+2]-[kx₂²+（3k+2）x₂+2k+2]
=（kx₁²-kx₂²）+[（3k+2）x₁-（3k+2）x₂]
=k（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（3k+2）（x₁-x₂）
=-3k（x₁-x₂）+（3k+2）（x₁-x₂）
=2（x₁-x₂），
當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，y₁＞y₂；
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，y₁=y₂；
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，y₁＜y₂．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，比較函數(shù)值的大小，因式分解等知識(shí)，難度適中．熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．