Question

13．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=6，則OP的長為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過點O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，根據(jù)垂徑定理可得BE=DF=3，利用勾股定理列式求出OE，再判斷出四邊形OFPE是正方形，然后根據(jù)正方形的對角線等于邊長的$\sqrt{2}$倍求解即可．

解答 解：如圖，過點O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，
∵AB=CD=6，
∴BE=DF=3，
在Rt△BOE中，根據(jù)勾股定理得，OE=$\sqrt{B{O}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
同理OF=4，
∵AB、CD是互相垂直的兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴四邊形OFPE是矩形，
又∵OE=OF，
∴四邊形OFPE是正方形，
∴OP=$\sqrt{2}$OE=4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了垂徑定理，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形和正方形是解題的關(guān)鍵．