Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”．
例如：點(diǎn)（1，2）的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)（1，2），點(diǎn)（-1，3）的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)（-1，-3）．
（1）若點(diǎn)（-1，-2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點(diǎn)M的“可控變點(diǎn)”，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，2）；
（2）若點(diǎn)P在函數(shù)y=-x²+16（-5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是-16≤y′≤16，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\sqrt{7}$≤a≤4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)“可控變點(diǎn)”的定義直接得出答案；
（2）根據(jù)題意可知y=-x²+16圖象上的點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”必在函數(shù)y′=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+16（x≥0）}\\{{x}^{2}-16（-5≤x＜0）}\end{array}\right.$的圖象上，結(jié)合圖象即可得到答案．

解答 解：（1）根據(jù)“可控變點(diǎn)”的定義可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，2）；
（2）依題意，y=-x²+16圖象上的點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”必在函數(shù)y′=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+16（x≥0）}\\{{x}^{2}-16（-5≤x＜0）}\end{array}\right.$的圖象上（如圖）．
∵-16≤y′≤16，
∴-16=-x²+16．
∴x=4$\sqrt{2}$．
當(dāng)x=-5時(shí)，x²-16=9，
當(dāng)y′=9時(shí)，9=-x²+16（x≥0）．
∴x=$\sqrt{7}$．
∴a的取值范圍是$\sqrt{7}$≤a≤4$\sqrt{2}$．
故答案為（-1，2），$\sqrt{7}$≤a≤4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義“可控變點(diǎn)”，解答此題還需要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，此題有一定的難度．