Question

3．如圖，坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于A點，雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$過點B，反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$過C，D點且OD=BC，已知B（2，3），則D點坐標(biāo)為（$\frac{-\sqrt{13}+7}{3}$，$\frac{-\sqrt{13}+7}{2}$）．

Answer 1

分析 先求出直線OB的解析式為y=$\frac{3}{2}$x，則設(shè)D（a，$\frac{3}{2}$a），利用勾股定理計算出OD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，再由AB⊥x軸得C點的橫坐標(biāo)為2，設(shè)C點的縱坐標(biāo)為t，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得a•$\frac{3}{2}$a=2•t，解得t=$\frac{3}{4}$a，于是可表示出C點坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{4}$a²），所以BC=3-$\frac{3}{4}$a²，利用OD=BC得到$\frac{\sqrt{13}}{2}$a=3-$\frac{3}{4}$a²，然后解此方程求出a的值，從而可得到D點坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)直線OB的解析式為y=kx，
把B（2，3）代入得2k=3，解得k=$\frac{3}{2}$，
所以直線OB的解析式為y=$\frac{3}{2}$x，
設(shè)D（a，$\frac{3}{2}$a），
∴OD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{3}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，
∵AB⊥x軸，B（2，3），
∴C點的橫坐標(biāo)為2，
設(shè)C點的縱坐標(biāo)為t，
∵反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$過C，D點，
∴a•$\frac{3}{2}$a=2•t，解得t=$\frac{3}{4}$a，
∴C點坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{4}$a²），
∴BC=3-$\frac{3}{4}$a²，
∵OD=BC，
∴$\frac{\sqrt{13}}{2}$a=3-$\frac{3}{4}$a²，
整理得3a²+2$\sqrt{13}$a-12=0，解得a₁=$\frac{-\sqrt{13}+7}{3}$，a₂=$\frac{-\sqrt{13}-7}{3}$（舍去），
∴D點坐標(biāo)為（$\frac{-\sqrt{13}+7}{3}$，$\frac{-\sqrt{13}+7}{2}$）．
故答案為（$\frac{-\sqrt{13}+7}{3}$，$\frac{-\sqrt{13}+7}{2}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．