Question

8．如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求證：DE=AF；
（2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)AB、AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是正方形？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，可證得四邊形AEDF是平行四邊形，即可證得結(jié)論；
（2）由AD平分∠BAC，DE∥AC，易證得△ADE是等腰三角形，又由四邊形AEDF是平行四邊形，即可證得四邊形AEDF是菱形；
（3）當(dāng)AC⊥AB時(shí)，由四邊形AEDF是菱形，即可證得四邊形AEDF是正方形．

解答 （1）證明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴DE=AF；

（2）若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形；
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠FAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵四邊形AEDF是平行四邊形，
∴四邊形AEDF是菱形；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)AB⊥AC時(shí)，四邊形AEDF是正方形．
理由：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴四邊形AEDF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定．注意熟練掌握菱形與正方形的判定是解此題的關(guān)鍵．