Question

1．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s速度向點(diǎn)c移動，同時動點(diǎn)Q從C出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)A移動，設(shè)它們的運(yùn)動時間為t．
（1）根據(jù)題意知：CQ=t，CP=4-2t；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）t為何值時，△CPQ的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{8}$？
（3）運(yùn)動幾秒時，△CPQ與△CBA相似？

Answer 1

分析 （1）結(jié)合題意，直接得出答案即可；
（2）根據(jù)三角形的面積列方程即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．

解答 解：（1）經(jīng)過t秒后，PC=4-2t，CQ=t，

（2）當(dāng)△CPQ的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{8}$時，
即$\frac{1}{2}$（4-2t）•t=$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
解得；t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{1}{2}$；
答：經(jīng)過$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{2}$秒后，△CPQ的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{8}$；

（3）設(shè)經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC則$\frac{AC}{BC}$=$\frac{QC}{PC}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{t}{4-2t}$，解得t=1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC則$\frac{PC}{QC}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{4-2t}{t}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{16}{11}$；
由P點(diǎn)在BC邊上的運(yùn)動速度為2cm/s，Q點(diǎn)在AC邊上的速度為1cm/s，可求出t的取值范圍應(yīng)該為0＜t＜2，
驗證可知①②兩種情況下所求的t均滿足條件．
答：要使△CPQ與△CBA相似，運(yùn)動的時間為1.2或$\frac{16}{11}$秒．

點(diǎn)評 本題考查一元二次方程的實際運(yùn)用，動點(diǎn)問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，掌握相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵；特別是（3）注意分類討論．