Question

16．AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，AB、AC分別與圓相交于E，F(xiàn)，求證：AB•AE=AF•AC．

Answer 1

分析 連接DE、DF，如圖，先根據圓周角定理由AD是⊙O的直徑得到∠AED=∠AFD=90°，而∠AD′B=∠AD′C=90°，則可判斷B、D′、D、E四點共圓，C、D′、D、F四點共圓，然后根據切割線定理得AE•AB=AD•AD′，AF•AC=AD•AD′，則AE•AB=AF•AC．

解答 解：連接DE、DF，設AD⊥BC垂足為D′，
∴AD′⊥BC，如圖，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵AD′⊥BC，
∴∠AD′B=∠AD′C=90°，
∴B、D′、D、E四點共圓，C、D′、D、F四點共圓，
∴AE•AB=AD•AD′，AF•AC=AD•AD′，
∴AB•AE=AF•AC．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，切割線定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．