Question

4．閱讀下面材料：

點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|．
當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；
當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，
如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
如圖3，當(dāng)點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；
如圖4，當(dāng)點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|；
回答下列問(wèn)題：
（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是3，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是4；
（2）數(shù)軸上若點(diǎn)A表示的數(shù)是x，點(diǎn)B表示的數(shù)是-2，則點(diǎn)A和B之間的距離是|x+2|，若|AB|=2，那么x為0或-4；
（3）當(dāng)x是-3或2時(shí)，代數(shù)式|x+2|+|x-1|=5；
（4）若點(diǎn)A表示的數(shù)-1，點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離是10，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒$\frac{1}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度，求運(yùn)動(dòng)幾秒后，點(diǎn)Q可以追上點(diǎn)P？（請(qǐng)寫(xiě)出必要的求解過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可得到點(diǎn)A和B之間的距離，再根據(jù)解方程|x+2|=2，即可得到x的值；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)x＜-2時(shí)；②當(dāng)-2≤x≤1時(shí)；③當(dāng)x＞1時(shí)，分別進(jìn)行計(jì)算求值即可；
（4）設(shè)運(yùn)動(dòng)n秒后，點(diǎn)Q可以追上點(diǎn)P，再根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離是10，列出方程3n-$\frac{1}{2}$n=10，解得n=4．

解答 解：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是|5-2|=3；
數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是|-3-1|=4；
故答案為：3，4；

（2）∵點(diǎn)A表示的數(shù)是x，點(diǎn)B表示的數(shù)是-2，
∴點(diǎn)A和B之間的距離|x-（-2）|=|x+2|；
當(dāng)|AB|=2時(shí)，|x+2|=2，
解得x=0或-4；
故答案為：|x+2|，0或-4；

（3）∵|x+2|+|x-1|=5，
∴①當(dāng)x＜-2時(shí)，-x-2-x+1=5，解得x=-3；
②當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，x+2-x+1=5，此方程無(wú)解；
③當(dāng)x＞1時(shí)，x+2+x-1=5，解得x=2；
故答案為：-3或2；

（4）設(shè)運(yùn)動(dòng)n秒后，點(diǎn)Q可以追上點(diǎn)P，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離是10，
∴3n-$\frac{1}{2}$n=10，
解得n=4，
∴運(yùn)動(dòng)4秒后，點(diǎn)Q可以追上點(diǎn)P．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系以及一元一次方程的應(yīng)用，解題時(shí)注意：任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式．