Question

8．觀(guān)察下列式子，并探索它們的規(guī)律：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
試用正整數(shù)n表示這個(gè)規(guī)律，并加以證明．

Answer 1

分析 分母是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，分子是1的分?jǐn)?shù)可以拆成這兩個(gè)自然數(shù)為分母，分子是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，由此規(guī)律得出答案即可．

解答 解：∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
證明：∵$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．