Question

17．如圖，在△ABC和△ADE中，AC=AB，AE=AD，∠CAB=∠EAD=90°
（1）求證：CE=BD；
（2）求證：CE⊥BD．

Answer 1

分析 （1）由已知條件證出∠CAE=∠BAD，由SAS證明△CAE≌△BAD，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）延長(zhǎng)BD交CE于F，由全等三角形的性質(zhì)得出∠ACE=∠ABD，由角的互余關(guān)系得出∠ABC+∠ACB=90°，證出∠DBC+∠BCF=90°，得出∠BFC=90°即可．

解答 （1）證明：∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}&{\;}\\{∠CAE=∠BAD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE=BD．
（2）證明：延長(zhǎng)BD交CE于F，如圖所示：
∵△CAE≌△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠CAB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
即∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACB+∠ACE=90°，
即∠DBC+∠BCF=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CE⊥BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的證明方法、直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．