Question

16．我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．
（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．
（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時：
①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立．請你證明此結(jié)論；
②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是“等對角四邊形”得出∠D=∠B=80°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出∠C即可；
（2）①連接BD，根據(jù)等邊對等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；
②不正確．舉一個反例即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，
∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°-80°-80°-70°=130°，

（2）①證明：如圖2，連接BD，

∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB．
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD；

②不正確．反例：如圖3中，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD．

點(diǎn)評 本題考查三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、“等對角四邊形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造等腰三角形解決問題，學(xué)會舉反例說明問題，屬于中考�？碱}型．