Question

13．如圖，拋物線y=-x²+2x+8交x軸于A、B，直線y=x+m與拋物線交于點A、D，與y軸交于點C，點D縱坐標為5
（1）求的m值和△BCD的面積S．
（2）點P為拋物線在第一象限的圖象上一點，直線PC交x軸于點E，若PC=3CE，求點P的坐標．
（3）在（2）的條件下，點Q為x軸上一點，把△PCQ沿CQ翻折，點P剛好落在x軸上的點G處，求Q點坐標．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)拋物線的解析式求得點A和點B的坐標，然后將點A代入直線的解析式即可求得m的值，然后根據(jù)點D的縱坐標求得點D和點C的坐標，從而求得S；
（2）設P（m，-m²+2m+8），作PH⊥x軸，交x軸于點H，從而得到△EOC∽△EHP，利用相似三角形對應邊的比相等得到PH=4OC，從而列出方程-m²+2m+8=4×2，求得m的值即可確定點的坐標；
（3）作PK⊥y軸，從而得到PK=2，KC=8-2=6，然后由翻折得△CQG≌△CQP，從而得到QG=QP，CG=CP=2$\sqrt{10}$，然后在Rt△OCG中求得GO的長即可求得點G的坐標．

解答 解：（1）∵y=-x²+2x+8交x軸于A、B，
∴y=-x²+2x+8=0，
解得：x=-2或x=4，
∴A（-2，0），（4，0），
∵直線y=x+m經過點A，
∴-2+m=0，
解得：m=2，
所以直線的解析式為：y=x+2，
令x=0，得y=2，
∴點C的坐標為（0，2），
∵D的縱坐標為5，
∴5=x+2，
解得：x=3
∴D（3，5），
∴S=S_△BAD-S_△BAC=$\frac{1}{2}$×6×3-$\frac{1}{2}$×6×2=9-6=3；

（2）設P（m，-m²+2m+8），
作PH⊥x軸，交x軸于點H，
∴CO∥PH，
∴△EOC∽△EHP，
∴$\frac{EC}{EP}=\frac{CO}{PH}$，
∵PC=3CE，
∴$\frac{EC}{EP}=\frac{CO}{PH}=\frac{1}{4}$，
∴PH=4OC，
∴-m²+2m+8=4×2，
解得 m=2，或m=0（舍去），
∴P（2，8）；

（3）作PK⊥y軸，
∴PK=2，KC=8-2=6，
在Rt△CPK中，CP=2$\sqrt{10}$，
由翻折得△CQG≌△CQP，
∴QG=QP，CG=CP=2$\sqrt{10}$，
在Rt△OCG中，
∵CP=2$\sqrt{10}$，OC=2，
∴GO=6，
∴G（6，0）或G（-6，0），
過P作PH⊥x軸，則H（2，0），且PH=8，
設Q（n，0）
則QP²=PH²+QH²=8²+（n-2）²，
GQ=|x_Q-x_G|=|n-（±6）|
因為QG=QP，
8²+（n-2）²=[n-（±6）]²，
解得n=-4，或n=2，
∴Q（-4，0）或Q（2，0）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．