Question

20．有一臺單功能計算器，對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸入第一個整數(shù)x₁，只顯示不運算，接著再輸入整數(shù)x₂后則顯示|x₁-x₂|的結(jié)果，比如依次輸入1，2，則輸出的結(jié)果是|1-2|=1；此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差后再取絕對值的運算，若小明將1到2017這2017個整數(shù)隨意地一個一個的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設(shè)為m，則m的最大值為（　�。�

• A． 2014
• B． 2015
• C． 2016
• D． 2017

Answer 1

分析 先將1到n（n≥3）這n個正整數(shù)隨意地一個一個地輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果為m，根據(jù)分析的奇偶性進(jìn)行構(gòu)造，其中k為非負(fù)整數(shù)，連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合指的是按（*）式結(jié)構(gòu)計算分別得出最大值與最小值，從而得出n=2017時的最大值．

解答 解：對于任意兩個正整數(shù)x₁，x₂，|x₁-x₂|一定不超過x₁和x₂中較大的一個，對于任意三個正整數(shù)x₁，x₂，x₃，
||x₁-x₂|-x₃|一定不超過x₁，x₂和x₃中最大的一個，
以此類推，設(shè)小明輸入的n個數(shù)的順序為x₁，x₂，…x_n，則m=|||…|x₁-x₂|-x₃|-…|-x_n|，
m一定不超過x₁，x₂，…x_n，中的最大數(shù)，所以0≤m≤n，易知m與1+2+…+n的奇偶性相同；
1，2，3可以通過這種方式得到0：||3-2|-1|=0；
任意四個連續(xù)的正整數(shù)可以通過這種方式得到0：|||a-（a+1）|-（a+3）|-（a+2）|=0（*）；
下面根據(jù)前面分析的奇偶性進(jìn)行構(gòu)造，其中k為非負(fù)整數(shù)，連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合指的是按（*）式結(jié)構(gòu)計算．
當(dāng)n=4k時，1+2+…+n為偶數(shù)，則m為偶數(shù)，連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合可得到0，則最小值為0，前三個結(jié)合得到0，接下來連續(xù)四個結(jié)合得到0，僅剩下n，則最大值為n；
當(dāng)n=4k+1時，1+2+…+n為奇數(shù)，則m為奇數(shù)，除1外，連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，則最小值為1，從1開始連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，僅剩下n，則最大值為n；
當(dāng)n=4k+2時，1+2+…+n為奇數(shù)，則m為奇數(shù)，從1開始連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，僅剩下n和n-1，
則最小值為1，
從2開始連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，僅剩下1和n，最大值為n-1；
當(dāng)n=4k+3時，1+2+…+n為偶數(shù)，則m為偶數(shù)，前三個結(jié)合得到0，接下來連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，
則最小值為0，從3開始連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，僅剩下1，2和n，
則最大值為n-1．
∴當(dāng)n=2017時，m的最大值為2016，最小值為0，
故選：C．

點評 此題考查了整數(shù)的奇偶性問題以及含有絕對值的函數(shù)最值問題，雖然以計算為載體，但首先要有試驗觀察和分情況討論的能力．