Question

10．如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB，AC上．DE∥BC，點G在邊BC上，AG交DE于點H，點O是線段AG的中點，若HG²=HO•HA，且DE=7.2，則BC長為9.6．

Answer 1

分析 由點O是線段AG的中點，得到AO=OG，根據(jù)HG²=HO•HA，得到$\frac{AH}{HG}$=$\frac{HG}{OH}$，推出$\frac{2OH}{HG}$+1=$\frac{HG}{OH}$，設(shè)$\frac{OH}{HG}$=x，則2x+1=$\frac{1}{x}$，得到$\frac{OH}{HG}$=1，求得$\frac{AH}{AG}$=$\frac{3}{4}$，根據(jù)平行線分線段成比例定理$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AH}{AG}$=$\frac{3}{4}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵點O是線段AG的中點，
∴AO=OG，
∵HG²=HO•HA，
∴$\frac{AH}{HG}$=$\frac{HG}{OH}$，即$\frac{2OH+HG}{HG}$=$\frac{HG}{OH}$，
∴$\frac{2OH}{HG}$+1=$\frac{HG}{OH}$，
設(shè)$\frac{OH}{HG}$=x，則2x+1=$\frac{1}{x}$，
解得：x=1（負(fù)值舍去），
∴$\frac{OH}{HG}$=1，
∴OH=HG，
∴$\frac{AH}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AH}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∵DE=7.2，
∴BC=9.6．
故答案為：9.6．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是檢查學(xué)生能否熟練地運用平行線分線段定理進(jìn)行推理．