Question

14．如圖，已知等邊△ABC，AE=BD，CE、AD交于點F，過點B作BG∥CE，BG交AD的延長線于點G，求證：
（1）AD=CE；
（2）∠BAD=∠ACE；
（3）∠CFD=60°；
（4）BG+DF=CE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，推出△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)于是得到結(jié)論；
（3）由于∠BAD=∠ACE，根據(jù)外角的性質(zhì)和等量代換即可得到結(jié)論；
（4）延長CE到M，使CM=AG，連接AM，推出△BAG≌△CAM（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠G=∠M，AM=BG，根據(jù)平分線的性質(zhì)得到∠G=∠AFM，等量代換得到∠M=∠AFM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AM=AF，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在等邊△ABC中，
∵AB=AC=BC，
∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABD=∠CAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=CE；

（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠ACE；

（3）∵∠BAD=∠ACE，
∴∠CDF=∠CAF+∠ACF=∠CAF+∠EAF=60°；

（4）延長CE到M，使CM=AG，連接AM，
在△BAG和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAG=ACM}\\{AG=CM}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△CAM（SAS），
∴∠G=∠M，AM=BG，
∵BG∥CE，
∴∠G=∠AFM，
∴∠M=∠AFM，
∴AM=AF，
∵AM=BG，
∴AF=BG，
∴BG+DF=AF+DF=AD=CE．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確根據(jù)知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．