Question

3．如圖①，△ABC≌△DEF，將△ABC的頂點(diǎn)B和△DEF的頂點(diǎn)與E重合，把△DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O．

（1）當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點(diǎn)B（E）、C、D在同一直線上時(shí)，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是∠AFD=∠DCA．
（2）當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí)，連接AF，CD，試證△ABF≌△DEC．
（3）在圖③中，（1）中的結(jié)論還成立嗎？連接BO、AD，BO與AD之間有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)分別說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AOD=∠A+∠AFD，∠AOD=∠D+∠DCA，然后整理即可得解；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DE，BC=EF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，然后推出∠ABF=∠DEC，利用邊角邊證明△ABF與△DEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAF=∠EDC，再推出∠FAC=∠CDF，然后利用三角形的外角性質(zhì)列式即可得證；
（3）可以證明AO=DO，根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離的點(diǎn)在線段垂直平分線得到BO⊥AD．

解答 解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，
又∵∠AOD=∠A+∠AFD，∠AOD=∠D+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA；
故答案為：∠AFD=∠DCA；

（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC，
即∠ABF=∠DEC，
在△ABF與△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠ABF=∠DEC}\\{BF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEC（SAS）；

（3）（1）中的結(jié)論還成立，
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC，
∴∠ABF=∠DEC，
在△ABF和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠ABF=∠DEC}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF=CD，∠BAF=∠BDC，
∵∠BAC=∠BDF，
∴∠FAO=∠CDO，
在△AFO與△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠CDO}\\{∠AOF=∠DOC}\\{AF=DC}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△DCO，
∴∠AFD=∠DCO，AO=DO，
∴BO⊥AD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，找出兩三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．