Question

17．如圖，拋物線y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），C（0，-2），直線l：y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$交y軸于點(diǎn)E，且與拋物線交于A，D兩點(diǎn)，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l下方時(shí)，過點(diǎn)P作PM∥x軸交l于點(diǎn)M，PN∥y軸交l于點(diǎn)N，求PM+PN的最大值．
（3）設(shè)F為直線l上的點(diǎn)，以E，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c解方程組即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），得到N（m，-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），M（-m²+2m+2，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）求得E（0，-$\frac{2}{3}$），得到CE=$\frac{4}{3}$，設(shè)P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），①以CE為邊，根據(jù)CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE為對角線，連接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，-$\frac{4}{3}$），設(shè)P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），則F（-m，$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），列方程得到此方程無實(shí)數(shù)根，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}×{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{4}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；
（2）設(shè)P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），
∵PM∥x軸，PN∥y軸，M，N在直線AD上，
∴N（m，-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），M（-m²+2m+2，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），
∴PM+PN=-m²+2m+2-m-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2=-$\frac{5}{3}$m²+$\frac{5}{3}$m+$\frac{10}{3}$=-$\frac{5}{3}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
∴當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，PM+PN的最大值是$\frac{15}{4}$；
（3）能，
理由：∵y=-$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$交y軸于點(diǎn)E，
∴E（0，-$\frac{2}{3}$），
∴CE=$\frac{4}{3}$，
設(shè)P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），
若以E，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形，
①以CE為邊，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），
∴-$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m+2=$\frac{4}{3}$，或$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2+$\frac{2}{3}$m+$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴m₁=1，m₂=0（舍去），m₃=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，m₄=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
②以CE為對角線，連接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，-$\frac{4}{3}$），
設(shè)P（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2），則F（-m，$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-2+$\frac{2}{3}$m-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{3}$，
∴m=1，m=0（舍去），
綜上所述，F(xiàn)（1，-$\frac{4}{3}$），（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，-$\frac{\sqrt{17}}{3}$），（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}}{3}$），（-1，0）以E，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．