Question

7．如圖，在矩形ABCD中，點A為坐標原點，點B在x軸正半軸，點D在y軸正半軸，點C坐標為（6，m），點E是CD的中點，以CE為一邊在矩形ABCD的內(nèi)部作矩形CEFG，使點F在直線y=x上，交線段BC于點G，直線DG的函數(shù)表達式為y=-$\frac{1}{6}$x+4，直線DG和AF交于點H．
（1）求m的值；
（2）求點H的坐標；
（3）判斷直線BE是否經(jīng)過點H，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形性質(zhì)和直線DG的與y軸的交點，確定出點C，B，D的坐標，即可；
（2）由兩條直線的解析式聯(lián)立即可求出點H的坐標；
（3）確定出直線BE的解析式，再判斷點H是否在該直線上．

解答 解：（1）∵直線DG的函數(shù)表達式為y=-$\frac{1}{6}$x+4，
∴D（0，4），
∵四邊形ABCD是矩形，且C（6，m），
∴m=4，
∴C（6，4）
（2）∵直線AF：y=x與直線DG：y=-$\frac{1}{6}$x+4的交點為H，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{6}x+4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{7}}\\{y=\frac{24}{7}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$）
（3）直線BE過點H，
理由：
∵直線DG解析式為y=-$\frac{1}{6}$x+4，直線BC解析式為x=6，
∴G（6，3），
∴點F的縱坐標為3，
∵點F在直線AF上，
∴F點的橫坐標為3，
∴F（3，3），
∴點E的橫坐標為3，
∵直線DC解析式為y=4，
∴E（3，4），
∵B（6，0），
∴直線BE解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+8，
當x=$\frac{24}{7}$時，y=-$\frac{4}{3}$×$\frac{24}{7}$+8=$\frac{24}{7}$，
∴直線BE過點H．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，確定直線的交點坐標的方法，解本題的關鍵是確定直線的解析式．