Question

19．如圖，△BDE與△BCD均為等邊三角形，連接AD交BE于P，連接CE交BD于Q．
（1）求證：∠DAB=∠BEC；
（2）判斷△PQB的形狀是直角三角形，等邊三角形或等腰三角形或一般三角形中的哪一種？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明△BCE≌△BDA，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可解答；
（2）通過證明△APB≌△EBQ就可以得出BP=BQ，由∠EBQ=60°，就可以得出△PQB是等邊三角形．

解答 解：（1）∵△BDE與△BCD均為等邊三角形，
∴BE=BA，BD=BC，∠EBA=∠DBC=60°，
∴∠EBA+∠EBD=∠DBC+∠EBD，
∴∠ABD=∠EBC．
在△BCE和△BDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BA}\\{∠ABD=∠EBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△BDA（SAS），
∴∠DAB=∠BEC；
（2）如圖，連接PQ，

∵△BCE≌△BDA，
∴∠DAB=∠BEC．
∵∠EBA=∠DBC=60°，
∴∠EBQ=60°，
∴∠ABE=∠EBQ．
在△ABD和△EBQ中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠BEC}\\{BA=BE}\\{∠ABE=∠EBQ}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBQ（ASA），
∴BP=BQ．
∵∠EBQ=60°，
∴△PQB是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是解答的關(guān)鍵．