Question

7．如圖1，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連接BF，CD，CO．
（1）求證：CD=BF；
（2）如圖2，當(dāng)△DEF繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，探究BF與CD間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；
（3）若AC=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，當(dāng)BF=$\sqrt{7}$時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CO=BO，OD=OF，則CD=OC+OD=OB+OF=BF；
（2）連結(jié)OC、OD，BF與CD相交于H，如圖2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OC⊥AB，OD⊥EF，則∠BOF=∠DOC，接著可證明△BOF≌△COD得到BF=CD，∠OBF=∠OCD，然后證明∠CHB=∠COB=90°得到BF⊥CD；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可計(jì)算出OC=$\frac{1}{2}$AB=2，OD=$\frac{1}{2}$EF=1，作CG⊥DO于G，如圖3，設(shè)OG=x，CG=y，利用勾股定理得x²+y²=2²，（1+x）²+y²=（$\sqrt{7}$）²，解方程組得x=1，y=$\sqrt{3}$，接著利用三角函數(shù)定義可求出∠COG=60°，所以∠BOE=60°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

解答 （1）證明：∵△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，
∴AB、EF的中點(diǎn)均為O，
∴CO=BO，OD=OF，
∴CD=OC+OD=OB+OF=BF；
（2）解：BF=CD，BF⊥CD．理由如下：
連結(jié)OC、OD，BF與CD相交于H，如圖2，
∵△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，OD⊥EF，
∴∠BOC=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOF=∠DOC，
在△BOF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOF=∠COD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD，
∴BF=CD，∠OBF=∠OCD，
∴∠CHB=∠COB=90°，
∴BF⊥CD；
（3）解：∵△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，EF=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=2，OD=$\frac{1}{2}$EF=1，
作CG⊥DO于G，如圖3，
設(shè)OG=x，CG=y，
在Rt△OCG中，x²+y²=2²，
在Rt△CDG中，（1+x）²+y²=（$\sqrt{7}$）²，
∴x=1，y=$\sqrt{3}$，
在Rt△OCG中，∵sin∠COG=$\frac{CG}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠COG=60°，
∴∠BOE=60°，
∴旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．