Question

3．（1）如圖1，長方形ABCD中分別沿AF、CE將AC兩側(cè)折疊，使點(diǎn)B、D分別落在AC上的G、H處，則線段AE=CF．（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=10cm，BF=6cm，AF=8cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．
①若點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在FB上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q在DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若四邊形APCQ是平行四邊形，求此時(shí)t的值．
②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），利用備用圖探究，當(dāng)a與b滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等得出AF∥CE，由兩對(duì)應(yīng)邊互相平行得出AFCE是平行四邊形，即可得出AE=CF；
（2）①當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，列出方程求解即可；
②分三種情況：當(dāng)點(diǎn)P在AF上，Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ；當(dāng)點(diǎn)P在BF上，Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP；當(dāng)點(diǎn)P在AB上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，分別得出a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，
由折疊的性質(zhì)可知，∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$∠DCA=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AE=CF．
故答案為：=；

（2）①∵在平行四邊形ABCD中，△ABF≌△CDE，
∴AE=CF，BF=DE=6cm，AB=CD=10cm，
∵如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，
∴FP=EQ，
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴PF=5t-8，QE=16-4t，
∴5t-8=16-4t，
解得t=$\frac{8}{3}$，
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=$\frac{8}{3}$秒；

②由題意得，以A，C，P，Q四點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在相互平行的對(duì)邊上，
分三種情況：
Ⅰ．如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AF上，Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ，
即a=24-b，得：a+b=24；

Ⅱ．如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在BF上，Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP，
又∵AE=CF，
∴EQ=FP，
即16-b=a-8，得a+b=24；

Ⅲ．如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在AB上，Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，
即24-a=b，得a+b=24．

綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=24（ab≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，根據(jù)圖形判斷出以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．