Question

7．已知關(guān)于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是整數(shù)）．
（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根分別為x₁、x₂（其中x₁＜x₂），設(shè)y=$\frac{1}{3}{x}_{2}-{x}_{1}$，判斷y是否為k的函數(shù)？如果是，請寫出函數(shù)關(guān)系式；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分類討論：當(dāng)k=0時(shí)，方程為以元一次方程，有解；當(dāng)k≠0時(shí)，根據(jù)計(jì)算配不上得到△=（2k-1）²≥0，則可判斷方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；
（2）利用求根公式得到x₁=1+$\frac{1}{k}$，x₂=3，則y=1-（1+$\frac{1}{k}$）=-$\frac{1}{k}$，于是可判斷y是k的反比例函數(shù)．

解答 （1）證明：當(dāng)k=0時(shí)，方程變形為-x+3=0，解得x=3；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=（4k+1）²-4k•（3k+3）=（2k-1）²≥0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
所以不論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)題意得x=$\frac{4k+1±（2k-1）}{2k}$，
所以x₁=$\frac{k+1}{k}$=1+$\frac{1}{k}$，x₂=3，
所以y=1-（1+$\frac{1}{k}$）=-$\frac{1}{k}$，
所以y是k的反比例函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．