Question

18．如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明PQ能否把△ABC的周長(zhǎng)平分？
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由勾股定理求出AC，由題意得出方程，解方程求出t，即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：
①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；
②當(dāng)CQ=BC時(shí)（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；
③當(dāng)BC=BQ時(shí)（圖3），過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．

解答 解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
∴PQ=$\sqrt{B{Q}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
（2）由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10（cm），
根據(jù)題意得：BQ=2tcm，CQ=（6-2t）cm，PA=tcm，BP=（8-t）cm，
若PQ能把△ABC的周長(zhǎng)平分，則BQ+BP=CQ+PA+AC，
即2t+8-t=6-2t+t+10，
解得：t=4，
此時(shí)CQ=6-2t=-2，
∴t=4不合題意，
∴點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)計(jì)算PQ不能把△ABC的周長(zhǎng)平分；
（3）①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示：
則∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠AB
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示：
則BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示：
過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，
則BE=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8（cm）
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，
△BCQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題有一定難度，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．