Question

13．在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，AC=8．
（1）如圖1，若AB⊥AC，BD=12，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)A，D），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，PF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，設(shè)PE=x，PF=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）如圖2，若AE平分∠BAC，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，且點(diǎn)F保持在點(diǎn)E的右邊，求線段BC的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由平行四邊形的性質(zhì)易得BO=DO=6，AO=CO=4，BC=AD，利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)，BC，AD的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可得，S_△AOD=S_△POA+S_△POD=2x+3y=$4\sqrt{5}$，S_△AOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×8$=4$\sqrt{5}$，得x，y的關(guān)系式；
（2）法一：如圖2，由AE平分∠BAC，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，可得BF=CF，利用角平分線的性質(zhì)易得ET=EG，AT=AG，由勾股定理可得，BT²=BE²-TE²，GC²=EC²-GE²=EC²-TE²，由點(diǎn)F保持在E的右邊，且BF=CF，易得BT＜GC，可得BT+AT＜GC+AG，即AB＜AC，由三角形三邊關(guān)系可得BC的取值范圍；法二：如圖3，連接FO，過(guò)點(diǎn)F作FH∥AE，交AC于H，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得，∠BAE=∠FHO，由中位線的性質(zhì)可得2FO=AB，∠FOC=2∠FHO，由外角的性質(zhì)可得∠FOC=∠FHO+∠HFO，易得HO=FO，可得0＜FO＜4，由三角形三邊關(guān)系可得AC-AB＜BC＜AB+AC，設(shè)FO=x，則AB=2x，且0＜x＜4，結(jié)合圖象，如圖4，可得BC的取值范圍．

解答 解：（1）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AC=8，BD=12，
∴BO=DO=6，AO=CO=4，BC=AD，
又∵AB⊥AC，
∴Rt△ABO中，AB²=6²-4²=20，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
Rt△ABC中，BC²=AB²+AC²=84，
∴BC=2$\sqrt{21}$=AD，
∵點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)A，D），
PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE=x，
PF=y，連接OP，
S_△POA=$\frac{1}{2}×OA×PE$=2x，
S_△POD=$\frac{1}{2}×OD×PF$=3y，
S_△AOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×8$=4$\sqrt{5}$，
S_△AOD=S_△POA+S_△POD=2x+3y=$4\sqrt{5}$，
∴y=$\frac{4\sqrt{5}-2x}{3}$，（0＜x＜2$\sqrt{5}$）；

（2）法一（幾何法）：如圖2，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，AC=8，
∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，則BF=CF，
∵AE平分∠BAC，則∠BAE=∠CAE，
過(guò)點(diǎn)E作ET⊥AB，EG⊥AC，則ET=EG，AT=AG，
Rt△BTE中，BT²=BE²-TE²，
Rt△EGC中，GC²=EC²-GE²=EC²-TE²，
∵點(diǎn)F保持在E的右邊，且BF=CF，
∴BE＜EC，
∴BT²＜GC²，
∴BT＜GC，
∴BT+AT＜GC+AG，即AB＜AC，即0＜AB＜8，
△ABC中，AC-AB＜BC＜AB+AC，
即0＜BC＜16；         
法二（代數(shù)法）：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，AC=8，
如圖3，連接FO，過(guò)點(diǎn)F作FH∥AE，交AC于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵FH∥AE，
∴∠FHO=∠CAE，
又∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，BF=CF，AO=CO=4，
∴2FO=AB，F(xiàn)O∥AB，
∴∠FOC=∠BAC，
∴∠FOC=2∠FHO，
又∵∠FOC=∠FHO+∠HFO，
∴∠FHO=∠HFO，
∴HO=FO，
又∵HO＜AO，
∴2FO＜2AO，且0＜FO＜4，
∴AB＜AC，
∴△ABC中，AC-AB＜BC＜AB+AC，
設(shè)FO=x，則AB=2x，且0＜x＜4，
∵AC=8，
∴8-2x＜BC＜8+2x          
令y₁=8-2x，y₂=8+2x，（0＜x＜4），
畫(huà)出圖象，如圖4，可知0＜BC＜16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理等，利用三角形的面積公式和三角形的三邊關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．