Question

10．如圖，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，若AE為∠BAC的角平分線，BD⊥AE，垂足為D．
（1）求證：AE=2BD；
（2）若CM⊥AD于M，求證：AM-ME=2CM．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長AC交BD的延長線于H．首先證明△ACE≌△BCH，推出AE=BH，再證明DH=DB即可解決問題．
（2）如圖2中，延長CM交AB于F，在AM上取一點(diǎn)H，使得MH=ME，首先證明CM=MF，再證明△ACH≌△CBF即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖1中，延長AC交BD的延長線于H．

∵∠ACE=∠BDE=90°，∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠EBD，
在△ACE和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCH=90°}\\{AC=BC}\\{∠CAE=∠CBH}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCH，
∴AE=BH，
∵∠DAH=∠DAB，∠DAH+∠H=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠H=∠ABD，
∴AH=AB，∵AD⊥BH，
∴BD=DH，
∴AE=2BD．

（2）如圖2中，延長CM交AB于F，在AM上取一點(diǎn)H，使得MH=ME．

∵CM⊥AD，
∴∠AMC=∠AMF=90°，
∵∠MAC=∠MAF，∠MAC+∠ACM=90°，∠MAF+∠AFM=90°，
∴∠AFM=∠ACM，
∴AC=AF，∵AM⊥CF，
∴CM=MF，
∵CM⊥EH，MH=ME，
∴CH=AE，
∴∠AEH=∠CHE，
∵∠MCE+∠MEC=90°，∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠MCE=∠CAE=∠FAM，
∵∠CME=∠AMF，
∴∠AFM=∠CEM=∠CHE，
∴∠AHC=∠CFB，
在△ACH和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAH=∠BCF}\\{∠AHC=∠CFB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△CBF，
∴AH=CF=2CM．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．