Question

19．已知拋物線C₁的函數(shù)解析式為y=ax²+bx-3a（b＜0），若拋物線C₁經(jīng)過點（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求拋物線C₁的頂點坐標．
（2）已知實數(shù)x＞0，請證明：x+$\frac{1}{x}$≥2，并說明x為何值時才會有x+$\frac{1}{x}$=2．
（3）若拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線C₂，設A（m，y₁），B（n，y₂）是C₂上的兩個不同點，且滿足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．請你用含有m的表達式表示出△AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時一次函數(shù)OA的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點（0，-3）在拋物線C₁上，即可得出a的值，將其代入拋物線解析式中，再根據(jù)根與系數(shù)的關系找出x₁+x₂=-b、x₁•x₂=-3，結合|x₁-x₂|=4即可求出b的值，將其代入拋物線解析式中，利用配方法即可得出拋物線C₁的頂點坐標；
（2）由x＞0．利用配方法可得出x+$\frac{1}{x}$-2=$（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$，再根據(jù)偶次方非負可得出x+$\frac{1}{x}$≥2，并能找出當x=1時取等號；
（3）根據(jù)平移的性質找出拋物線C₂的解析式，從而可找出A、B點的坐標，根據(jù)△AOB為直角三角形結合勾股定理找出m、n之間的關系，再根據(jù)三角形的面積公式即可找出S關于m的關系式，根據(jù)（2）的結論即可得出S的最小值，找出此時的點A的坐標即可得出一次函數(shù)OA的函數(shù)解析式．

解答 解：（1）∵拋物線過（0，-3）點，
∴-3a=-3，
∴a=1，
∴y=x²+bx-3．
∵x²+bx-3=0的兩根為x₁，x₂且|x₁-x₂|=4，
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-3，
∴$|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{（-b）^{2}-4×（-3）}$=4且b＜0，
∴b=-2，
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線C₁的頂點坐標為（1，-4）．
（2）∵x＞0，
∴x+$\frac{1}{x}$-2=$（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{2}$≥0，
∴$x+\frac{1}{x}≥2$，
顯然當x=1時，才有$x+\frac{1}{x}=2$．
（3）由平移知識可得拋物線C₂的解析式為：y=x²，
∴A（m，m²），B（n，n²），
∵△AOB為Rt△，
∴OA²+OB²=AB²，
∴m²+m⁴+n²+n⁴=（m-n）²+（m²-n²）²，
化簡得：mn=-1，
∵S=$\frac{1}{2}OA•OB$=$\frac{1}{2}\sqrt{{m^2}+{m^4}}•\sqrt{{n^2}+{n^4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{m}^{2}{n}^{2}+{m}^{2}{n}^{4}+{m}^{4}{n}^{2}+{m}^{4}{n}^{4}}$，
∵mn=-1，
∴S=$\frac{1}{2}\sqrt{2+{m^2}+{n^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+{m^2}+\frac{1}{m^2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（m+\frac{1}{m}）}^2}}=\frac{1}{2}（{m+\frac{1}{m}}）≥\frac{1}{2}•2=1$，
∴S的最小值為1，此時m=1，A（1，1），
∴直線OA的一次函數(shù)解析式為y=x．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、根與系數(shù)的關系以及二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是：（1）求出a、b值；（2）根據(jù)偶次方非負得出x+$\frac{1}{x}$≥2；（3）找出S關于m的函數(shù)關系式．本題屬于中檔題，難道不大，解決該題型題目時，巧妙利用x+$\frac{1}{x}$≥2是關鍵．