Question

4．如圖．在△ABC中．AB=AC=5cm，BC=6cm，AD是BC邊上的高．點(diǎn)P由C出發(fā)沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng)．速度為1cm/s．同時(shí)，直線EF由BC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)．速度為1cm/s，EF∥BC，并且EF分別交AB、AD、AC于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)，連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BDFE是平行四邊形？
（2）設(shè)四邊形QDCP的面積為y（cm²），求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S_{四邊形QDCP}：S_△ABC=9：20？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)F到直線PQ的距離h；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接DF，由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，推出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AQ}{AD}$，推出$\frac{EF}{6}$=$\frac{4-t}{4}$，可得EF=$\frac{3}{2}$（4-t），由EF∥BD，可知EF=BD時(shí)，四邊形EFDB是平行四邊形，列出方程即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，作PN⊥AD于N，由PN∥DC，推出$\frac{PN}{DC}$=$\frac{AP}{AC}$，推出$\frac{PN}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，推出PN=$\frac{3}{5}$（5-t），根據(jù)y=$\frac{1}{2}$•DC•AD-$\frac{1}{2}$•AQ•PN計(jì)算即可解決問(wèn)題．
（3）存在．由題意（-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{27}{10}$t）：12=9：20，解方程即可．
（4）存在．如圖3中，作QN⊥AC于N，F(xiàn)H⊥PQ于H，根據(jù)cos∠CAD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AN}{AQ}$，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．根據(jù)sin∠FPH=$\frac{FH}{PF}$=$\frac{3}{5}$，求出FH即可．

解答 解：（1）如圖1中，連接DF．

∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AQ}{AD}$，
∴$\frac{EF}{6}$=$\frac{4-t}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$（4-t），
∵EF∥BD，
∴EF=BD時(shí)，四邊形EFDB是平行四邊形，
∴$\frac{3}{2}$（4-t）=3，
∴t=2，
∴t=2s時(shí)，四邊形EFDB是平行四邊形；

（2）如圖2中，作PN⊥AD于N，

∵PN∥DC，
∴$\frac{PN}{DC}$=$\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{PN}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PN=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴y=$\frac{1}{2}$•DC•AD-$\frac{1}{2}$•AQ•PN=6-$\frac{1}{2}$•（4-t）$•\frac{3}{5}$（5-t）=6-（$\frac{3}{10}$t²-$\frac{27}{10}$t+6）=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{27}{10}$t（0＜t＜4）；

（3）存在：理由：由題意（-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{27}{10}$t）：12=9：20，
解得t=3或6（舍棄）；
∴當(dāng)t=3s時(shí)，S_{四邊形QDCP}：S_△ABC=9：20；

（4）存在．理由如下：
如圖3中，作QN⊥AC于N．作FH⊥PQ于H．

∵QA=QP，QN⊥AP，
∴AN=NP=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（5-t），
由題意cos∠CAD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AN}{AQ}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（5-t）}{4-t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{7}{3}$，
∴t=$\frac{7}{3}$s時(shí)，點(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線上．
∵sin∠FPH=$\frac{FH}{PF}$=$\frac{3}{5}$，
∵PA=5-$\frac{7}{3}$=$\frac{8}{3}$，AF=AQ÷$\frac{4}{5}$=$\frac{25}{12}$，
∴PF=$\frac{7}{12}$，
∴FH=$\frac{7}{20}$．
∴點(diǎn)F到直線PQ的距離h=$\frac{7}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．