Question

2．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD、DC的中點，AF、BE交于點G，連接CG，試說明：△CGB是等腰三角形．

Answer 1

分析 先由SAS證明△ABE≌△DAF，得出∠ABE=∠DAF，再根據(jù)角的互余關(guān)系求出AF⊥BE，同理得出CM⊥BE，證出AF∥CM，得出CM垂直平分BG，從而證出
CG=BC，得出結(jié)論．

解答 解：取AB的中點M，連接CM交BE于N，如圖所示：
∵四邊形ABCD1S1正方形，
∴AB=DA=CD，∠BAE=∠ADF=90°，
∵點E、F分別是邊AD和CD的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥BE，
同理可得CM⊥BE，
∴AF∥CM，
∵M(jìn)是AD的中點，
∴N是BG的中點，
∴CM垂直平分BG，
∴CG=BC，
∴△CGB是等腰三角形．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行的判定；通過證明三角形全等，進(jìn)一步證出平行線是解決問題的關(guān)鍵．