Question

3．已知：直線l₁：y=-x+n過點(diǎn)A（-1，3），雙曲線Cy=$\frac{m}{x}$（x＞0）過點(diǎn)B（1，2），動(dòng)直線l₂：y=kx-2k+2（常數(shù)k＜0）恒過定點(diǎn)F．
（1）求直線l₁，雙曲線C的解析式，定點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）在雙曲線C上取一點(diǎn)P（x，y），過P作x軸的平行線交直線l₁于M，連接PF．求證：PF=PM．
（3）若動(dòng)直線l₂與雙曲線C交于P₁，P₂兩點(diǎn)，分別過P₁，P₂兩點(diǎn)作直線l₁的垂線，垂足分別為M₁，M₂．
求$\frac{{P}_{1}{P}_{2}}{{P}_{1}{M}_{1}+{P}_{2}{M}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l₁：y=-x+n過點(diǎn)A（-1，3），直接利用待定系數(shù)法，即可求得直線l₁，由雙曲線C：y=$\frac{m}{x}$（x＞0）過點(diǎn)B（1，2），直接利用待定系數(shù)法，即可求得雙曲線C的解析式，又由動(dòng)直線l₂：y=kx-2k+2=（k-2）x+2，即可得定點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（2，2）；
（2）首先在雙曲線C上任取一點(diǎn)P（x，y），過P作x軸的平行線交直線l₁于M（x₀，y），連結(jié)PF，可得PF=x-x₀，又由M（x₀，y）在直線l₁上，可得-x₀+2=y，繼而可得PM=x+$\frac{2}{x}$-2，然后求得PF，即可證得PM=PF；
（3）首先分別過P₁，P₂作x軸的平行線交直線l₁于M₁′，M₂′兩點(diǎn)，易得△P₁M₁M₁′和△P₂M₂M₂′都是等腰直角三角形，繼而求得P₁M₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P₁M₁′，P₂M₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P₂M₂′，然后由（2）可知，P₁M₁′+P₂M₂′=P₁F+P₂F=P₁P₂，即可求得答案．

解答 解：（1）∵直線直線l₁：y=-x+n過點(diǎn)A（-1，3），
∴-（-1）+n=3，
解得：n=2，
∴直線l₁的解析式為y=-x+2；
∵雙曲線C：y=$\frac{m}{x}$（x＞0）過點(diǎn)B（1，2），
∴$\frac{m}{1}$=2，
解得：m=2，
∴即雙曲線C的解析式為：y=$\frac{2}{x}$，
動(dòng)直線動(dòng)直線l₂：y=kx-2k+2=（k-2）x+2，
∴不論k為任何負(fù)數(shù)時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，則y=2，
即動(dòng)直線l₂：y=kx-2k+2恒過定點(diǎn)F（2，2）；

（2）如圖1，在雙曲線C上任取一點(diǎn)P（x，y），過P作x軸的平行線交直線l₁于M（x₀，y），連結(jié)PF．
則PF=x-x₀，
又∵M(jìn)（x₀，y）在直線l₁上，
∴-x₀+2=y，
∴x₀=2-y=2-$\frac{2}{x}$，
∴PM=x+$\frac{2}{x}$-2，
又∵PF=$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{2}{x}-2）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-4x+4+\frac{2}{{x}^{2}}-\frac{8}{x}+4}$=$\sqrt{（{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}）-4（x+\frac{2}{x}）+4+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}-4（x+\frac{2}{x}）+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}-2）^{2}}$=x+$\frac{2}{x}$-2，
（注：x+$\frac{2}{x}$-2=（$\sqrt{x}$）²+（$\sqrt{\frac{2}{x}}$）²-2$\sqrt{x}$•$\sqrt{\frac{2}{x}}$+2$\sqrt{2}$-2=（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{2}{x}}$）²+2$\sqrt{2}$-2≥2$\sqrt{2}$-2＞0）
∴PM=PF；

（3）分別過P₁，P₂作x軸的平行線交直線l₁于M₁′，M₂′兩點(diǎn)，
∵直線l₁的解析式為y=-x+2，
∴△P₁M₁M₁′和△P₂M₂M₂′都是等腰直角三角形．
∴P₁M₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P₁M₁′，P₂M₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P₂M₂′，
由（2）可知，P₁M₁′+P₂M₂′=P₁F+P₂F=P₁P₂，
∴$\frac{{P}_{1}{P}_{2}}{{P}_{1}{M}_{1}+{P}_{2}{M}_{2}}$=$\frac{{P}_{2}{P}_{2}}{{\frac{\sqrt{2}}{2}P}_{1}{M}_{1}^{′}+{\frac{\sqrt{2}}{2}P}_{2}{M}_{2}^{′}}$=$\frac{{P}_{1}{P}_{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}（{P}_{1}{M}_{1}^{′}+{P}_{2}{M}_{2}^{′}）}$=$\frac{{P}_{1}{P}_{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}（{P}_{1}F+{P}_{2}F）}$=$\frac{{P}_{1}{P}_{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}{P}_{1}{P}_{2}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識(shí)、勾股定理以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．