Question

10．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且頂點(diǎn)為D（1，4）．
（1）求b和c的值；
（2）如圖，連接BC，與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，作點(diǎn)P作PF∥DF，交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求當(dāng)四邊形DEPF為平行四邊形時(shí)m的值；
②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求得b、c的值；
（2）①PF的長就是當(dāng)x=m時(shí)，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長．
根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值．
②可將三角形BCF分成兩部分來求：
一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標(biāo)為高即可得出三角形PFC的面積．
一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對值為高，即可求出三角形PFB的面積．
然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，配方后即可確定最大值．

解答 解：（1）設(shè)y=-x²+bx+c=-（x-h）²+k，
∵頂點(diǎn)為D（1，4），
∴y=-x²+bx+c=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
∴b=2，c=3；

（2）令y=0，則-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=0，
解得，x=-1或x=3，則A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，則y=0，則C（0，3）．
綜上所述，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線的對稱軸是x=1；
①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b（k≠0）．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3．
所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3．
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4．
∴D（1，4）
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴線段DE=4-2=2，
線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴當(dāng)PF=ED時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
因此，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
S=S△BCF=S△BPF+S△CPF=$\frac{1}{2}$FP•OM+$\frac{1}{2}$FP•BM=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴S的最大值為$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸的解析式是解題的基礎(chǔ)．