Question

15．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC的垂直平分線交AD于N，交BC于M，交AC于O．
（1）求證：△COM∽△ADC；
（2）求線段OM的長度．

Answer 1

分析 （1）首先由矩形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得∠D=∠MOC=90°，∠DAC=∠OCM，得到結(jié)論；
（2）由勾股定理可得AC的長，易得OC的長，再由△COM∽△ADC，利用相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{OM}{CD}=\frac{OC}{AD}$，代入得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵MN是線段AC的垂直平分線，
∴∠MOC=90°，AM=CM，
∴∠MAC=∠MCA，
即∠DAC=∠OCM，
∵∠D=∠MOC=90°，
∴△COM∽△ADC；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形
∴AD=BC=8，CD=AD=6，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}$=10，
∵MN是線段AC的垂直平分線
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵△COM∽△ADC，
∴$\frac{OM}{CD}=\frac{OC}{AD}$，
即：$\frac{OM}{6}$=$\frac{5}{8}$，
∴OM=$\frac{15}{4}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定定理，綜合運用相似三角形的性質(zhì)和判定定理是解答此題的關鍵．