Question

14．現(xiàn)有一列數(shù)：a₁，a₂，a₃，a₄，…，a_n-1，a_n（n為正整數(shù)），規(guī)定a₁=2，a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，…，a_n-a_n-1=2n（n≥2），則a₄=20．若$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{504}{1009}$，則n的值為2017．

Answer 1

分析 根據(jù)條件a₁=2，a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，…，a_n-a_n-1=2n（n≥2），求出a₂=a₁+4=6=2×3，a₃=a₂+6=12=3×4，a₄=a₃+8=20=4×5，由此得出a_n=n（n+1）．根據(jù)$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$化簡$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$，再解方程$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{504}{1009}$即可求出n的值．

解答 解：∵a₁=2，a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，…，a_n-a_n-1=2n（n≥2），
∴a₂=a₁+4=6=2×3，
a₃=a₂+6=12=3×4，
a₄=a₃+8=20=4×5，
…
a_n=n（n+1）．
∵$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{504}{1009}$，
∴$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{504}{1009}$，
解得n=2017．
故答案為20；2017．

點評 本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．解決本題的難點在于得出a_n=n（n+1）．