Question

8．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，下列條件中，能證明△ABC是直角三角形的有①②④．（在橫線上填上你認(rèn)為所有正確答案的序號(hào)）
①∠ACD=∠B 
②$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$ 
③$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$ 
④$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角形內(nèi)角和，求出有一個(gè)角是直角即可；②證明△CDB∽△ACD，得到∠ACD=∠B，從而∠CAD+∠B=90°，所以△ABC是直角三角形；③不能證明△ABC是直角三角形；④證明△CAD∽△BAC，從而∠ACB=∠ADC=90°．

解答 解：①在△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠ACD=∠B，
∴∠CAD+∠B=90°，
∴在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②在△CDB與△ADC中，
$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$，
∠BDC=∠ADC=90°，
∴△CDB∽△ACD（SAS），
∴∠ACD=∠B，
∴∠CAD+∠B=90°，
∴在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$，不能證明△ABC是直角三角形；
④$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，∠A=∠A，
∴△CAD∽△BAC，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，熟悉直角三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．