Question

13．如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是AD邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BF、CD交于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABF∽△DEF；
（2）若$DE=\frac{1}{2}CD$，S_△DEF=2，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等可得∠A=∠D，對(duì)邊平行可得AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ABF=∠E，然后利用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明．
（2）由$DE=\frac{1}{2}CD$，可知$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{EC}=\frac{1}{3}$，易知△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出△ABF和△BCE的面積即可求出平行四邊形ABCD的面積．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠D，AB∥CD，
∴∠ABF=∠E，
在△ABF和△DEF中，
∠A=∠D，∠ABF=∠E，
∴△ABF∽△CEB．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，
∵$DE=\frac{1}{2}CD$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{EC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABF}}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△CEB}}$=$\frac{1}{9}$
∵S_△DEF=2，
∴S_△ABF=8，S_△CEB=18，
∴S_{四邊形BCDF}=S_△CEB-S_△DEF=18-2=16．
∴S_{平行四邊形ABCD}=S_△ABF+S_{四邊形BCDF}=8+16=24．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟悉相似三角形的性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．