Question

5．學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來(lái)測(cè)量一路燈的高度，并探究影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律．如圖，在同一時(shí)間，身高為1.6m的小明（AB）的影子BC長(zhǎng)是3m，而小穎（EH）剛好在路燈燈泡的正下方H點(diǎn)，并測(cè)得HB=6m．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；
（2）求路燈燈泡的垂直高度GH；
（3）如果小明沿線段BH向小穎（點(diǎn)H）走去，當(dāng)小明走到BH中點(diǎn)B₁處時(shí)，其影子長(zhǎng)為B₁C₁；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的$\frac{1}{3}$到B₂處時(shí)，其影子長(zhǎng)為B₂C₂；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的$\frac{1}{4}$到B₃處，…，按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走剩下路程的$\frac{1}{n+1}$到B_n處時(shí)，其影子B_nC_n的長(zhǎng)為$\frac{3}{n+1}$m．（直接用n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）確定燈泡的位置，可以利用光線可逆可以畫出；
（2）要求垂直高度GH可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相似三角形的問(wèn)題，圖中△ABC∽△GHC由它們對(duì)應(yīng)成比例可以求出GH；
（3）的方法和（2）一樣也是利用三角形相似，對(duì)應(yīng)相等成比例可以求出，然后找出規(guī)律．

解答 解：（1）如圖：形成影子的光線，路燈燈泡所在的位置G．


（2）解：由題意得：△ABC∽△GHC，
∴$\frac{AB}{GH}$=$\frac{BC}{HC}$，
∴$\frac{1.6}{GH}$=$\frac{3}{6+3}$，
解得：GH=4.8（m），
答：路燈燈泡的垂直高度GH是4.8m．

（3）同理△A₁B₁C₁∽△GHC₁，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{GH}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{H{C}_{1}}$，
設(shè)B₁C₁長(zhǎng)為x（m），則$\frac{1.6}{4.8}$=$\frac{x}{x+3}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$（m），即B₁C₁=$\frac{3}{2}$（m）．
同理$\frac{1.6}{4.8}$=$\frac{{B}_{2}{C}_{2}}{{B}_{2}{C}_{2}+2}$，
解得B₂C₂=1（m），
∴$\frac{1.6}{4.8}$=$\frac{{B}_{n}{C}_{n}}{{B}_{n}{C}_{n}+\frac{1}{n+1}×6}$，
解得：B_nC_n=$\frac{3}{n+1}$．
故答案為：$\frac{3}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相似三角形的應(yīng)用及中心投影，只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例解題．