Question

13．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且∠BDC=∠EDA，連接BD，DE，CE，過點(diǎn)E作EF⊥BD交BD于N，交BC于F
（1）如圖1，若∠DBC=15°，DE=4時(shí)，求線段EN的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，求證：AD=DC；
（3）如圖3，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CN，求證：DN+NF=$\sqrt{2}$CN．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠ADE=∠BDC=75°，再證明∠AED=∠BEN=60°，在Rt△DEN中利用30度性質(zhì)即可解決問題．
（2）如圖2中，作AM⊥AC交CE的延長(zhǎng)線于M．只要證明△ACM≌△CBD，△AED≌△AEM即可解決問題．
（3）如圖3中，連接CN、DF．首先證明△ADE≌△BFE推出AD=BF，CD=CF，將△CFN逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDG，只要證明G、D、N共線，△GCN是等腰直角三角形，
即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵∠DBC=15°，
∴∠BDC=∠ADE=75°，
∵EF⊥BD，
∴∠FNB=90°，∠BFN=75°，
∴∠AED=180°-∠A-∠ADE=60°，∠FEB=180°-∠EBF-∠EFB=60°，
∴∠DEF=180°-∠AED-∠FEB=60°，
∴∠DEN=∠BEN=60°，
∵∠DNE=90°，∠EDN=30°，DE=4，
∴EN=$\frac{1}{2}$DE=2．

（2）證明：如圖2中，作AM⊥AC交CE的延長(zhǎng)線于M．

∵∠ACM+∠BCN=80°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACN=∠DBC，
在△ACM和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠DCB}\\{AC=BC}\\{∠ACM=∠DBC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△CBD，
∴AM=CD，∠M=∠BDC=∠ADE，
∵∠CAM=90°，∠CAB=45°，
∴∠EAD=∠EAM=45°，
在△EAD和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠EAM}\\{∠ADE=∠M}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AEM，
∴AD=AM，
∴AD=CD．

（3）證明：如圖3中，連接CN、DF．

∵∠EFB+∠FBN=90°，∠FBN+∠BDC=90°，
∴∠EFB=∠BDC=∠ADE，
在△ADE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EBF}\\{∠ADE=∠EFB}\\{AE=EB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE，
∴AD=BF，
∵AC=CB，
∴CD=CF，將△CFN逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDG，
∵∠DCF+∠DNF=180°，
∴∠CDN+∠CFN=180°，
∵∠CFN=∠CDG，
∴∠CDN+∠CDG=180°，
∴G、D、N共線，
∴DN+FN=GN+DG=NG，
∵∠FCN=∠DCG，CN=CG，
∴∠GCN=∠ACB=90°，
∴△GCN是等腰直角三角形，
∴NG=$\sqrt{2}$CD，
∴DN+NF=$\sqrt{2}$CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識(shí)，具體的是關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．